试题

（2013·衡阳）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；
（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．

解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为

1

2

·30

2

=15

2

＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求；

（2）（画图正确给1分）
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，

使得BE=31，OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE=

312-302

=

61

，DE=30-

61

，
∴OD=

(30- 61 )2+152

≈26.8＜31，
即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．
解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为

1

2

·30

2

=15

2

＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求；

（2）（画图正确给1分）
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，

使得BE=31，OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE=

312-302

=

61

，DE=30-

61

，
∴OD=

(30- 61 )2+152

≈26.8＜31，
即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．