试题

题目：
青果学院若矩形ABCD能以某种方式分割成n个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形ABCD相似，则此时我们称矩形ABCD可以自相似n分割，已知AB=1，BC=x（x≥1），
（1）若下图可以自相似2分割，请在图中画出分割草图，并求出x的值．
（2）若矩形ABCD可以自相似3分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的x值．
答案
解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=
1
2
BC，
根据相似矩形对应边成比例
BF
AB
=
AB
BC
，
∴x·
1
2
x=1，
解得x=
2
；
青果学院

（2）如上图，EF，GH三等分矩形，则
BF
AB
=
AB
BC
，
∴x·
1
3
x=1，
解得x=
3
；
如上图，点G为AB中点，则
BG
AB
=
BF
BC
，
∴BF=
1
2
BC=
1
2
x，
又
FC
CD
=
CD
BC
，
∴BC·FC=CD·CD=1，
即x（x-
1
2
x）=1，
解得x=
2
．
解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=
1
2
BC，
根据相似矩形对应边成比例
BF
AB
=
AB
BC
，
∴x·
1
2
x=1，
解得x=
2
；
青果学院

（2）如上图，EF，GH三等分矩形，则
BF
AB
=
AB
BC
，
∴x·
1
3
x=1，
解得x=
3
；
如上图，点G为AB中点，则
BG
AB
=
BF
BC
，
∴BF=
1
2
BC=
1
2
x，
又
FC
CD
=
CD
BC
，
∴BC·FC=CD·CD=1，
即x（x-
1
2
x）=1，
解得x=
2
．
考点梳理
相似多边形的性质．
（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．
本题主要考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练运用比例的性质列式并解方程是解题的关键．
作图题．
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