试题

题目：
青果学院如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O1O2O3为等边三角形，边长为1，曲线O3A1，A1A2，A2A3分别以O1，O2，O3为圆心，O1O3，O2A1，O3A2为半径的圆弧，曲线O3A1A2A3称为螺旋线O1旋转一圈，以后又以O1为圆心，O1O3为半径画圆弧，交O2O1得延长线于A4，…，等等，假设此螺旋线共绕O1旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为
14
14
．
答案
14

解：螺旋线O3A1A2A3的长度为
2
3
π+2×
2
3
π+3×
2
3
π=4π，
当绕O1旋转第二圈时，螺旋线为4×
2
3
π+5×
2
3
π+6×
2
3
π=10π，
则螺旋线的总长度14π，
∴此螺旋线的长度与圆周率π的比值为14π：π=14．
故答案为14．
考点梳理
弧长的计算；等边三角形的性质．
当绕O1旋转第一圈时，即为螺旋线O3A1A2A3的长度和，所以
2
3
π+2×
2
3
π+3×
2
3
π=4π，当绕O1旋转第二圈时，螺旋线的长度为4×
2
3
π+5×
2
3
π+6×
2
3
π=10π，螺旋线的总长度14π，再除以圆周率π即可．
本题主要考查了弧长的计算．解题的关键是归纳总结得到各段弧长，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．
规律型．
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