试题

题目：
青果学院（2011·青海）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D．
（1）求证：∠BAC=∠CAD；
（2）若∠B=30°，AB=12，求
AC
的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OC，
∵EF是过点C的⊙O的切线．
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=12，
∴半径OA=
1
2
AB=6，
∴
AC
的长l=
60π·6
180
=2π．
青果学院（1）证明：连接OC，
∵EF是过点C的⊙O的切线．
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=12，
∴半径OA=
1
2
AB=6，
∴
AC
的长l=
60π·6
180
=2π．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；弧长的计算．
（1）连接OC，由EF为圆O的切线，根据切线性质得到OC与EF垂直，又AD与EF垂直，得到AD与OC平行，根据两直线平行得到内错角∠OCA=∠CAD，由OA=OC，根据“等边对等角”得到∠OCA=∠OAC，等量代换得证；
（2）由OA=OB，根据“等边对等角”得到∠B=∠OCB=30°，又∠AOC为△BOC的外角，根据三角形外角性质求出∠AOC的度数，即为弧AC所对的圆心角的度数，然后由直径AB的长，求出半径的长，利用弧长公式即可求出
AC
的长．
此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及弧长公式．遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，是常常连接的辅助线，然后构造直角三角形来解决问题．要求学生掌握切线的性质，三角形的外角性质以及弧长公式l=
nπr
180
（n为弧所对的圆心角度数，r表示圆的半径）．
综合题；压轴题．
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