试题

（2011·白下区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．以AB为直径作⊙O交BC于点F，CD的中点E恰好在⊙O上．
（1）CD是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）若AD=2，BC=6，求

BF

的长度（结果保留π）．

解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
连接OE．
∵O是AB中点，E是CD中点，
∴OE是直角梯形ABCD的中位线，
∴OE∥AD∥BC，
∴∠OEC=∠D=90°，（3分）
又∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；（4分）

（2）连接OF、AF．
由（1）得OE=

AD+BC

2

=4，
∴OB=OF=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，（5分）
∵直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴四边形AFCD是矩形．
∴CF=AD=2，
∴BF=BC-CF=4，（6分）
∴OB=OF=BF=4，
∴∠BOF=60°，（7分）
∴

BF

的长度=

60×4π

180

=

4

3

π．（8分）
解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
连接OE．
∵O是AB中点，E是CD中点，
∴OE是直角梯形ABCD的中位线，
∴OE∥AD∥BC，
∴∠OEC=∠D=90°，（3分）
又∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；（4分）

（2）连接OF、AF．
由（1）得OE=

AD+BC

2

=4，
∴OB=OF=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，（5分）
∵直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴四边形AFCD是矩形．
∴CF=AD=2，
∴BF=BC-CF=4，（6分）
∴OB=OF=BF=4，
∴∠BOF=60°，（7分）
∴

BF

的长度=

60×4π

180

=

4

3

π．（8分）