试题

（2013·同安区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是弦，过点B作BE⊥CD交弦CD 的延长线于E，连结OC，∠BOC=2∠CBE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CD=6，∠COB=120°，求

BD

的长．

（1）方法一：
证明：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∠BOC=2∠CBE，
∴2∠OBC+2∠CBE=180°，
∴∠OBC+∠CBE=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．
方法二：
证明：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BOC=2∠CBE，
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BAC=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBA=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：连结OD．
∵∠COB=120°，
∠BOC=2∠CBE，
∴∠CBE=60°，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=6，
∴

BD

=

60π×6

180

=2π．
（1）方法一：
证明：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∠BOC=2∠CBE，
∴2∠OBC+2∠CBE=180°，
∴∠OBC+∠CBE=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．
方法二：
证明：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BOC=2∠CBE，
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BAC=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBA=90°，
∴OB⊥BE，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：连结OD．
∵∠COB=120°，
∠BOC=2∠CBE，
∴∠CBE=60°，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=6，
∴

BD

=

60π×6

180

=2π．