如图，正△ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转1...-青果题库-青果学院

题目：

（2003·常州）如图，正三角形ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP₁，形成扇形D₁；将线段BP₁绕点B顺时针旋转120°至BP₂，形成扇形D₂；将线段CP₂绕点C顺时针旋转120°至CP₃，形成扇形D₃；将线段AP₃绕点A顺时针旋转120°至AP₄，形成扇形D₄…．设l_n为扇形D_n的弧长（n=1，2，3…），回答下列问题：
（1）按照要求填表：

n	1	2	3	4
l_n

（2）根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形D_n的弧长能绕地球赤道一周（设地球赤道半径为6400km）．
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答案

解：（1）根据弧长公式得l₁=

120π×1

180

=

2π

3

；
l₂=

120π×2

180

=

4π

3

；
l₃=

120π×3

180

=2π；
l₄=

120π×4

180

=

8π

3

．

n

1

2

3

4

l_n

2π

3

4π

3

2π

8π

3

（2）根据上述规律可知：
1_n=

120π×n

180

=2π×640000000，
解得n=1.92×10⁹．
解：（1）根据弧长公式得l₁=