试题

（2008·防城港）如图，B，C在⊙O上，△OBC是等边三角形，BA⊥OC于点D，交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC的延长线，直径BG的延长线分别为点E、F，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）若l

AG

=

2π

3

，求线段AE的长．

（1）证明：连接AC，AO
∵BD是等边三角形△OCB的OC边上的高
∴∠CBA=∠ABF=30°
∵∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°
∵AE为切线，∴∠OAE=90°
∴∠CAE=30°
∴∠E=180°-∠CAE-∠ECA=90°
即△BEF是直角三角形．

（2）解：∵弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3
∴OA=AC=2
∴AE=ACsin60°=

3

．
（1）证明：连接AC，AO
∵BD是等边三角形△OCB的OC边上的高
∴∠CBA=∠ABF=30°
∵∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°
∵AE为切线，∴∠OAE=90°
∴∠CAE=30°
∴∠E=180°-∠CAE-∠ECA=90°
即△BEF是直角三角形．

（2）解：∵弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3
∴OA=AC=2
∴AE=ACsin60°=

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