试题

题目：
（2012·顺义区一模）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为
3
3
π
3
3
π
；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
(4
3
+2)π
(4
3
+2)π
；经过3n（青果学院n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
2
3
+1
3
nπ
2
3
+1
3
nπ
．（结果都保留π）
答案
3
3
π

(4
3
+2)π

2
3
+1
3
nπ

青果学院解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=
AD2-DO2
=
3
，
第一次旋转的弧长=
60π×
3
180
=
3
3
π，
∵第一、二次旋转的弧长和=
60π×
3
180
+
60π×
3
180
=
3
3
π+
3
3
π=
2
3
3
π，
第三次旋转的弧长为：
60π×1
180
=
π
3

∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（
2
3
3
π+
π
3
）=（4
3
+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（
2
3
3
π+
π
3
）=
2
3
+1
3
nπ．
故答案为：
3
3
π，（4
3
+2）π，
2
3
+1
3
nπ．
考点梳理
弧长的计算；菱形的性质；旋转的性质．
从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．
本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．
规律型．
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