试题

题目：
如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．
（1）图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH；
（2）设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是
2πα
3
2πα
3
，第5段弧的长是
10πα
3
10πα
3
．前5段弧长的和（即曲线CDEFGH的长）是
10πα
10πα
；
（3）类似地有“正方形的渐开线”，“正五边形的渐开线”，…，边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是
15πα
2
15πα
2
；
（4）猜想，①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是
30πα
n
30πα
n
；
②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是
m(m+1)πα
n
m(m+1)πα
n
．
青果学院
答案
2πα
3

10πα
3

10πα

15πα
2

30πα
n

m(m+1)πα
n

解：（1）如右图（1分）
青果学院

（2）
2
3
πa，
10
3
πa，10πa；（3分）

（3）
15πα
2
；（2分）

（4）
30
n
πa，
m(m+1)
n
πa．（（2分）+2分））
考点梳理
弧长的计算．
（1）以点B为圆心，BG长为半径画弧即可；
（2）利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断的增大，第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去第五次是5，总和就是把五段弧加起来．
（3）先利用五边形的性质求出五边形的外角度数，再利用弧长公式计算；
（4）五段弧相加，利用多边形的外角公式和弧长公式进行计算．
本题主要考查了弧长公式及多边形的内角和及外角的计算方法，学生注意在做题时要把所学的各块的知识给系统起来．
新定义．
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