试题

A是直线l外一点，且A到直线l的距离AO=10，P是AO上一点，以A为圆心，AP为半径作圆，过O作⊙A的切线OB，切点为B，延长BP交l于C．
（1）证明：OB=OC；
（2）若PC=4

5

，求半径AB的长；
（3）作O关于直线BC轴对称点为O′，若O′恰好落在⊙A上，求此时

BO

的弧长．

（1）证明：∵AB=AP，
∴∠1=∠2=∠3，
∵BO为圆的切线，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵AO⊥l，
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；

（2）解：设半径AB=r，则在Rt△AOB中，OA=10，
根据勾股定理得：OB²=10²-r²，
同理得到：OC²=（4

5

）²-（10-r）²，
由（1）得：10²-r²=（4

5

）²-（10-r）²，
解得：r=6；

（3）解：∵∠OBC=∠O′BC=∠OCB，
∴BO′∥OC，
∵AO⊥OC，
∴BO′被AP平分，
∴∠AOB=30°，
∴AB=5，∠BAO′=120°，
∴BO′的弧长为

120π×5

180

=

10π

3

．
（1）证明：∵AB=AP，
∴∠1=∠2=∠3，
∵BO为圆的切线，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵AO⊥l，
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；

（2）解：设半径AB=r，则在Rt△AOB中，OA=10，
根据勾股定理得：OB²=10²-r²，
同理得到：OC²=（4

5

）²-（10-r）²，
由（1）得：10²-r²=（4

5

）²-（10-r）²，
解得：r=6；

（3）解：∵∠OBC=∠O′BC=∠OCB，
∴BO′∥OC，
∵AO⊥OC，
∴BO′被AP平分，
∴∠AOB=30°，
∴AB=5，∠BAO′=120°，
∴BO′的弧长为

120π×5

180

=

10π

3

．