试题

题目：
青果学院如图：△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若△ABO腰上的高为2
3
，且∠A=30°，求
ECF
的长．
答案
青果学院解：（1）连接OC，
∵C为AB的中点，OA=OB，
∴OC⊥AB，AC=BC，∠AOB=2∠AOC，
∵C点在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线，

（2）延长AO，做BH⊥AO，
∵BH=2
3
，由∠A=30°，
∴AB=4
3
，
∴AC=2
3
，
∵OC⊥AB，
∴OC=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∵弧长公式为：n°πR÷180°，
∴
ECF
=
120°×π×2
180°
=
4π
3
．
青果学院解：（1）连接OC，
∵C为AB的中点，OA=OB，
∴OC⊥AB，AC=BC，∠AOB=2∠AOC，
∵C点在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线，

（2）延长AO，做BH⊥AO，
∵BH=2
3
，由∠A=30°，
∴AB=4
3
，
∴AC=2
3
，
∵OC⊥AB，
∴OC=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∵弧长公式为：n°πR÷180°，
∴
ECF
=
120°×π×2
180°
=
4π
3
．
考点梳理
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．
（1）连接OC，由C为AB的中点，OA=OB，即可推出OC⊥AB，然后根据C点在⊙O上即可推出AB是⊙O的切线；
（2）延长AO，作BH⊥AO，即BH=2
3
，由∠A=30°，即可推出AB=4
3
，再由中点的性质推出AC=2
3
，可得OC=2，∠AOC=60°，即∠AOB=120°，最后根据弧长公式即可推出结果．
本题主要等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、弧长公式、切线的判定与性质，关键在于正确作出辅助线，构建直角三角形，熟练运用相关的定义和公式，认真地进行计算．
几何综合题．
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