试题

已知：D为⊙O上一点，C为

AB

的中点，弦AB、CD相交于点H，延长AB到点E，使ED=EH．
（1）求证：直线ED与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为2，

AB

=π，求弦AB的长．

（1）证明：连接OD，OC，OC交AB于F，
∵C为弧AB中点，OC为半径，
∴OC⊥AB，
∴∠CFH=90°，
∴∠C+∠FHC=90°，
∵∠DHE=∠CHF，
∴∠C+∠DHE=90°，
∵DE=EH，OD=OC，
∴∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴直线ED与⊙O相切；

（2）解：连接OA、OB，
∵⊙O半径为2，弧AB=π，设∠AOB=n°，
∴

nπ×2

180

=π，
n=90，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=45°，AB=2AF，
∴cos45°=

AF

OA

∵OA=2，
∴AF=

2

，
AB=2AF=2

2

．
（1）证明：连接OD，OC，OC交AB于F，
∵C为弧AB中点，OC为半径，
∴OC⊥AB，
∴∠CFH=90°，
∴∠C+∠FHC=90°，
∵∠DHE=∠CHF，
∴∠C+∠DHE=90°，
∵DE=EH，OD=OC，
∴∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴直线ED与⊙O相切；

（2）解：连接OA、OB，
∵⊙O半径为2，弧AB=π，设∠AOB=n°，
∴

nπ×2

180

=π，
n=90，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=45°，AB=2AF，
∴cos45°=

AF

OA

∵OA=2，
∴AF=

2

，
AB=2AF=2

2

．