试题

如图，M是以AB为直径的⊙O内的一点，AM，BM的延长线分别与圆O交于点C，D，过点M作MN⊥AB于点N，过点C作⊙O的切线与MN交于点E，连接DE，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BD=8，MN=MC，求DE的长．

（1）证明：连接AD，BC，OC，OE，CN，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵MN⊥NB，
∴B，C，M，N四点共圆，
∴∠CNM=∠DBC，
∵EN⊥AN，OC⊥CE，
∴O，E，C，N四点共圆，
∴∠COE=∠CNM，
∴∠COE=∠DBC，
∵∠DOC=2∠DBC，
∴∠DOC=2∠EOC，
∴∠DOE=∠COE，
在△DOE和△COE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△DOE≌△COE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=6，
在Rt△BMN和Rt△BMC中，

MC=MN BM=BM

，
∴Rt△BMN≌Rt△BMC（HL），
∴∠MBN=∠MBC，即∠ABD=∠CBD，
∴两个圆周角所对的圆心角∠AOD=∠COD，
∴∠ABD=∠DOE，
∴tan∠DOE=tan∠ABD=

6

8

=

DE

OD

，
则DE=

3

4

×5=

15

4

．
（1）证明：连接AD，BC，OC，OE，CN，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵MN⊥NB，
∴B，C，M，N四点共圆，
∴∠CNM=∠DBC，
∵EN⊥AN，OC⊥CE，
∴O，E，C，N四点共圆，
∴∠COE=∠CNM，
∴∠COE=∠DBC，
∵∠DOC=2∠DBC，
∴∠DOC=2∠EOC，
∴∠DOE=∠COE，
在△DOE和△COE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△DOE≌△COE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=6，
在Rt△BMN和Rt△BMC中，

MC=MN BM=BM

，
∴Rt△BMN≌Rt△BMC（HL），
∴∠MBN=∠MBC，即∠ABD=∠CBD，
∴两个圆周角所对的圆心角∠AOD=∠COD，
∴∠ABD=∠DOE，
∴tan∠DOE=tan∠ABD=

6

8

=

DE

OD

，
则DE=

3

4

×5=

15

4

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