试题

（2013·南昌）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标．

（1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2），
∴AP⊥OA，
则AP为圆O的切线；
（2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，
∵AP∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠BPO=∠POC，
∴OC=CP，
在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB-PC=4-x，OB=2，
根据勾股定理得：OC²=OB²+BC²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
∴BC=4-x=1.5，
∵S_△OBC=

1

2

OB·BC=

1

2

OC·BQ，即OB·BC=OC·BQ，
∴BQ=

2×1.5

2.5

=1.2，
在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ=

OB2-BQ2

=1.6，
则B坐标为（1.6，-1.2）．
（1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2），
∴AP⊥OA，
则AP为圆O的切线；
（2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，
∵AP∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠BPO=∠POC，
∴OC=CP，
在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB-PC=4-x，OB=2，
根据勾股定理得：OC²=OB²+BC²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
∴BC=4-x=1.5，
∵S_△OBC=

1

2

OB·BC=

1

2

OC·BQ，即OB·BC=OC·BQ，
∴BQ=

2×1.5

2.5

=1.2，
在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ=

OB2-BQ2

=1.6，
则B坐标为（1.6，-1.2）．