试题

（2013·聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=4

3

，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．

证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-2）²+（2

3

）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=4

3

，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∴·FADC是菱形；

（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，

FA=FC OF=OF OA=OC

，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-2）²+（2

3

）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=4

3

，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∴·FADC是菱形；

（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，

FA=FC OF=OF OA=OC

，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．