试题

已知点C是线段BD上一动点，分别以线段BC和线段DC为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：CE为⊙O的切线；
（2）如图2，若△CDE的边DE所在的直线与⊙O切于点F，求CD：BC的值．

（1）证明：连结OC，如图1，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴点O是等边△ABC的外心和内心，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠OCE=30°+60°=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，如图2，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
设OH=a，则CH=

3

a，OC=2a，
∴BC=2

3

a，
∵DF与⊙O切于点F，
∴OF⊥FD，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，∠D=60°，
∴∠CEF=120°，
而∠OCE=∠OFE=90°，
∴∠COF=60°，
∴△OCF为等边三角形，
∴∠OFC=60°，FC=OC=2a，
∴∠CFD=30°，
∴∠FCD=90°，
∴CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，
∴CD：BC=

2 3 a

3

：2

3

a=1：3．
（1）证明：连结OC，如图1，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴点O是等边△ABC的外心和内心，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠OCE=30°+60°=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，如图2，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
设OH=a，则CH=

3

a，OC=2a，
∴BC=2

3

a，
∵DF与⊙O切于点F，
∴OF⊥FD，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，∠D=60°，
∴∠CEF=120°，
而∠OCE=∠OFE=90°，
∴∠COF=60°，
∴△OCF为等边三角形，
∴∠OFC=60°，FC=OC=2a，
∴∠CFD=30°，
∴∠FCD=90°，
∴CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，
∴CD：BC=

2 3 a

3

：2

3

a=1：3．