试题

如图，已知：正△ABC，AO⊥BC于H，⊙O切AB为D，
（1）求证：AC为⊙O切线；
（2）⊙O与BC交于E、F，若EF=2，OH=

3

3

，求阴影部分的面积．

解：（1）证明：过O作OG⊥AC于点G，可得∠AGO=90°，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，且AO⊥BC，
∴AO为∠BAC的平分线，即∠DAO=∠CAO，
又AB为圆O的切线，∴OD为圆O的半径，∠ADO=∠AGO=90°，
在△ADO和△AGO中，

∠DAO=∠CAO ∠ADO=∠AGO AO=AO

，
∴△AGO≌△ADO（AAS），
∴OD=OG，又OD为圆O的半径，
则AC为圆O的切线；
（2）∵OH⊥EF，
∴H为EF的中点，又EF=2，
∴EH=FH=1，又OH=

3

3

，
在Rt△OEH中，tan∠EOH=

EH

OH

=

3

，
∴∠EOH=60°，
由勾股定理得：OE=

OH2+EH2

=

2 3

3

，
∵OH⊥EF，H为EF的中点，
∴OE=OF，
∴∠EOF=2∠EOH=120°，
则S_阴影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

120π·( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4π

9

-

3

3

．
解：（1）证明：过O作OG⊥AC于点G，可得∠AGO=90°，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，且AO⊥BC，
∴AO为∠BAC的平分线，即∠DAO=∠CAO，
又AB为圆O的切线，∴OD为圆O的半径，∠ADO=∠AGO=90°，
在△ADO和△AGO中，

∠DAO=∠CAO ∠ADO=∠AGO AO=AO

，
∴△AGO≌△ADO（AAS），
∴OD=OG，又OD为圆O的半径，
则AC为圆O的切线；
（2）∵OH⊥EF，
∴H为EF的中点，又EF=2，
∴EH=FH=1，又OH=

3

3

，
在Rt△OEH中，tan∠EOH=

EH

OH

=

3

，
∴∠EOH=60°，
由勾股定理得：OE=

OH2+EH2

=

2 3

3

，
∵OH⊥EF，H为EF的中点，
∴OE=OF，
∴∠EOF=2∠EOH=120°，
则S_阴影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

120π·( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4π

9

-

3

3

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