试题

如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）求弦AB的长；
（3）过P、B两点的直线是否是⊙O的切线，说明理由．

解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=

OA

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA·sin60°=2×

3

2

=

3

．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2

3

；

（3）过P、B两点的直线是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OB、PB．
在△OAB和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAB≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP．
又∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°．
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线，即过P、B两点的直线是⊙O的切线．
解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=

OA

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA·sin60°=2×

3

2

=

3

．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2

3

；

（3）过P、B两点的直线是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OB、PB．
在△OAB和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAB≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP．
又∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°．
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线，即过P、B两点的直线是⊙O的切线．