试题

题目：
已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C
（1）如图①，若AB=1，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
青果学院
答案
青果学院（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴BA⊥PA，
∴∠BAP=90°，
∵AB=1，∠P=30°，
∴AP=
3
AB=
3
；

（2）证明：连结OC、AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP为直角三角形，
∵D为AP的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，
即∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DC，
∴直线CD是⊙O的切线．
青果学院（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴BA⊥PA，
∴∠BAP=90°，
∵AB=1，∠P=30°，
∴AP=
3
AB=
3
；

（2）证明：连结OC、AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP为直角三角形，
∵D为AP的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，
即∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DC，
∴直线CD是⊙O的切线．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理．
（1）由AP是⊙O的切线，根据切线的性质得∠BAP=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AP的长；
（2）连结OC、AC，由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则△ACP为直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质得DC=DA，所以∠DCA=∠DAC，而∠OCA=∠OAC，于是得∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，即∠OCD=∠OAD=90°，然后根据切线的判定定理得到直线CD是⊙O的切线．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
证明题．
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