试题

（2011·平谷区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求△DEC的面积．

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，
∵在Rt△AED中，DE⊥AC，∠DAE=60°，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

，DE=sin60°×AD=

3

2

，
∴EC=2-

1

2

=

3

2

，
∴S△DEC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

．
（1）证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，
∵在Rt△AED中，DE⊥AC，∠DAE=60°，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

，DE=sin60°×AD=

3

2

，
∴EC=2-

1

2

=

3

2

，
∴S△DEC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

．