试题

（2012·北辰区一模）已知△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，以O为圆心的⊙O与AB相切于点C，⊙O与OA、OB分别交于点D、E．
（1）如图（1），若AB=6，求⊙O的半径长；
（2）如图（2），延长AO交⊙O于点F，求证：直线BF与⊙O相切．

解：（1）连接OC，
∵⊙O与AB相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，又AB=6，∠AOB=120°，
∴AC=

1

2

AB=3，∠AOC=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OA=2OC，
根据勾股定理得：OA²=OC²+AC²，即4OC²=OC²+9，
解得：OC=

3

，
则⊙O的半径为

3

；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOF=∠BOC，
在△BOF和△BOC中，
∵

OF=OC ∠BOF=∠BOC OB=OB

，
∴△BOF≌△BOC（SAS），
∵∠OCB=90°，
∴∠OFB=∠OCB=90°，
∴BF与圆O相切．

解：（1）连接OC，
∵⊙O与AB相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，又AB=6，∠AOB=120°，
∴AC=

1

2

AB=3，∠AOC=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OA=2OC，
根据勾股定理得：OA²=OC²+AC²，即4OC²=OC²+9，
解得：OC=

3

，
则⊙O的半径为

3

；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOF=∠BOC，
在△BOF和△BOC中，
∵

OF=OC ∠BOF=∠BOC OB=OB

，
∴△BOF≌△BOC（SAS），
∵∠OCB=90°，
∴∠OFB=∠OCB=90°，
∴BF与圆O相切．