试题

（2012·孝感模拟）如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O交底边BC于点D．过D作⊙O的切线DE，交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，问圆心O与点A的距离为多少时，⊙O与AC相切？

（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．       
              
（2）解：过O作OF⊥AC于F，设AF=x，
∵△ABC为等边三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=

3

x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得：

3

x+2x=2，
解得：x=4-2

3

，
∴OA=2x=8-4

3

，
答：圆心O与点A的距离为8-4

3

时，⊙O与AC相切．
（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．       
              
（2）解：过O作OF⊥AC于F，设AF=x，
∵△ABC为等边三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=

3

x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得：

3

x+2x=2，
解得：x=4-2

3

，
∴OA=2x=8-4

3

，
答：圆心O与点A的距离为8-4

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时，⊙O与AC相切．