试题

题目：
（2011·柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D青果学院，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=
3
时，求AD的长．
答案
青果学院（1）证明：如图，连接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
设BO=BE=CO=x，
∴OE=2x，
在Rt△OCE中，
根据勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（
3
）2=（2x）2
∴x=1，
∴AE=3，∠E=30°，
∴AD=
3
2
．
青果学院（1）证明：如图，连接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
设BO=BE=CO=x，
∴OE=2x，
在Rt△OCE中，
根据勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（
3
）2=（2x）2
∴x=1，
∴AE=3，∠E=30°，
∴AD=
3
2
．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
（1）如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．
此题主要考查了切线的判定与性质，同时也利用了圆周角定理及勾股定理，首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的性质、勾股定理列出方程解决问题．
几何综合题；压轴题．
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