试题

（2012·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．

（1）猜想：OD∥BC，OD=

1

2

BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=

1

2

BC

（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴

AE

=

CE

，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（1）猜想：OD∥BC，OD=

1

2

BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=

1

2

BC

（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴

AE

=

CE

，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．