试题

（2013·黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）求证：OF=

1

2

CD．

证明：（1）连接OE，
∵AM与圆O相切，
∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，

OB=OE OC=OC

，
∴Rt△BCO≌Rt△ECO，
∴∠BOC=∠EOC，
∵∠AOD=∠EOD，
∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=

1

2

×180°=90°，
∵AM、BN为圆O的切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵OF∥BN，
∴AM∥OF∥BN，
又O为AB的中点，
∴F为CD的中点，
则OF=

1

2

CD．
证明：（1）连接OE，
∵AM与圆O相切，
∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，

OB=OE OC=OC

，
∴Rt△BCO≌Rt△ECO，
∴∠BOC=∠EOC，
∵∠AOD=∠EOD，
∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=

1

2

×180°=90°，
∵AM、BN为圆O的切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵OF∥BN，
∴AM∥OF∥BN，
又O为AB的中点，
∴F为CD的中点，
则OF=

1

2

CD．