试题

如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，说明理由；
（2）求DE的长．

解：（1）EF为圆O的切线，理由为：
∵四边形OBCD为菱形，
∴OD∥BC，
∵O为AB的中点，
∴G为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥EF，
∴OD⊥EF，
则EF与圆O相切；

（2）∵四边形OBCD为菱形，
∴OD=OB=BC=CD=2，
∵OG为△ABC的中位线，
∴OG=

1

2

BC=1，即OG=

1

2

OD，
∴G为OD的中点，
∵AC∥EF，
∴A为OE的中点，即AG为△OED的中位线，
∴AG=

1

2

DE，
在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=

AO2-OG2

=

3

，
则DE=2AG=2

3

．
解：（1）EF为圆O的切线，理由为：
∵四边形OBCD为菱形，
∴OD∥BC，
∵O为AB的中点，
∴G为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥EF，
∴OD⊥EF，
则EF与圆O相切；

（2）∵四边形OBCD为菱形，
∴OD=OB=BC=CD=2，
∵OG为△ABC的中位线，
∴OG=

1

2

BC=1，即OG=

1

2

OD，
∴G为OD的中点，
∵AC∥EF，
∴A为OE的中点，即AG为△OED的中位线，
∴AG=

1

2

DE，
在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=

AO2-OG2

=

3

，
则DE=2AG=2

3

．