试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=
1
2
AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（　　）



答案
D
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB=
1
2
AB，
∴OA=
1
2
AC，∴③正确．
故选D．
考点梳理
切线的判定；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ADB即可判断①；求出OD∥AC，推出DE⊥OD，得出DE是圆O的切线即可判断④；根据线段垂直平分线推出AC=AB，即可判断③，根据切线的性质即可判断②．
本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
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