试题

如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB到E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）连接OE交BC于点F，若OF=2，求EF的长．

解：（1）连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BE，∠CBE=90°，
∴△CBE为等腰直角三角形，即∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴CE⊥OC，
则CE为圆O的切线；

（2）过O作OG⊥AB，可得出AG=BG=

1

2

AB=

1

2

BE，
∵FB⊥AE，OG⊥AE，
∴FB∥OG，
∴

EF

EF+OF

=

BE

BE+GB

，即

EF

EF+2

=

2

3

，
解得：EF=4．
解：（1）连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BE，∠CBE=90°，
∴△CBE为等腰直角三角形，即∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴CE⊥OC，
则CE为圆O的切线；

（2）过O作OG⊥AB，可得出AG=BG=

1

2

AB=

1

2

BE，
∵FB⊥AE，OG⊥AE，
∴FB∥OG，
∴

EF

EF+OF

=

BE

BE+GB

，即

EF

EF+2

=

2

3

，
解得：EF=4．