试题

AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF=FG，DF=5，CG=6，求⊙O的半径．

证明：（1）连OC，如图，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，
而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠POC，
又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，
∴∠PAO=∠PC0，
而PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠PC0=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）连AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
由（1）得∠AOP=∠COP，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAG=∠ADF，
∴AF=DF=FG=5，
∴AC=5+5+6=16．
∴AH=

1

2

AC=8，
又∵OA=OD，
∴Rt△AOH≌Rt△DOE，
∴DE=AH=8．
∴EF=DE-DF=8-5=3，
在Rt△AEF中，AE=

AF2-EF2

=

52-32

=4，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r²=8²+（r-4）²．
∴r=10．
所以⊙O的半径为10．
证明：（1）连OC，如图，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，
而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠POC，
又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，
∴∠PAO=∠PC0，
而PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠PC0=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）连AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
由（1）得∠AOP=∠COP，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAG=∠ADF，
∴AF=DF=FG=5，
∴AC=5+5+6=16．
∴AH=

1

2

AC=8，
又∵OA=OD，
∴Rt△AOH≌Rt△DOE，
∴DE=AH=8．
∴EF=DE-DF=8-5=3，
在Rt△AEF中，AE=

AF2-EF2

=

52-32

=4，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r²=8²+（r-4）²．
∴r=10．
所以⊙O的半径为10．