试题

题目：
青果学院如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，F是延长线上的一点，连接BF，若AB=2
3
，EO=1．
（1）求⊙O的半径．
（2）若∠F=30°，求证：直线BF是⊙O的切线．
答案
青果学院解：（1）连接OB．
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴BE=AE=
3
，∠OEB=90°，
在Rt△OEB中：OB=
EO2+BE2
=
12+(
3
) 2
=2，
∴⊙O的半径为2；

（2）∵EO=1，OC=BO=2，EO⊥AB，
∴tan∠OBE=
OE
OB
=
1
2
，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=60°，
∵∠F=30°，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
青果学院解：（1）连接OB．
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴BE=AE=
3
，∠OEB=90°，
在Rt△OEB中：OB=
EO2+BE2
=
12+(
3
) 2
=2，
∴⊙O的半径为2；

（2）∵EO=1，OC=BO=2，EO⊥AB，
∴tan∠OBE=
OE
OB
=
1
2
，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=60°，
∵∠F=30°，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
考点梳理
切线的判定；勾股定理；垂径定理．
（1）由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，根据垂径定理，即可求得BE的长，然后由勾股定理，即可求得⊙O的半径OB的长．
（2）由EO=1，OC=BO=2，EO⊥AB，即可求得∠OBE=30°，即可求得∠BOE=60°，则∠OBF=90°，继而证得直线BF是⊙O的切线．
此题考查了垂径定理与圆的切线的判定，以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．
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