试题

如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交矩形的对角线BD于点E，点F是BC边的中点，连接EF．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC=2，EF=

3

，P是⊙O上除E、C两点外的任意一点，则∠EPC的度数为．

解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OE、OF．
∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵点F是BC的中点，点O是DC的中点，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO与△CFO中，

OE=OC ∠2=∠3 OF=OF

，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直线EF与⊙O相切．

（2）如图，连接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=

3

．
∴BC=2

3

在直角△FDC中，tan∠D=

BC

DC

=

3

，
∴∠D=60°．
∵点E、P、C、D四点共圆，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
故填：120°．