试题

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，求BD的长．

证明：（1）DE与半圆O相切，理由为：
连接OD，BD，如图所示：
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
又∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线；

解：（2）方程x²-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，且AB＞AD，
∴AD=4，AB=6，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=2

5

．
证明：（1）DE与半圆O相切，理由为：
连接OD，BD，如图所示：
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
又∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线；

解：（2）方程x²-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，且AB＞AD，
∴AD=4，AB=6，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=2

5

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