试题

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．

（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；

（2）解：如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；

（2）解：如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．