试题

如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点M，CE交AB的延长线于点E．
（1）如果∠ECD=2∠A，求证：EC是⊙O的切线；
（2）如果CD=8cm，BM=2cm，求⊙O的半径r．

解：（1）证明：连接CO，
∵圆心角∠BOC与圆周角∠A都对

BC

，
∴∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，
∴∠ECD=∠BOC，
又∵∠BOC+∠OCM=90°，
∴∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，
∴EC是⊙O的切线；

（2）∵AB⊥CD，CD=8cm，
∴CM=

1

2

CD=4cm，
设圆的半径为rcm，即OC=OB=rcm，
又∵MB=2cm，
∴OM=OB-MB=（r-2）cm，
在Rt△COM中，根据勾股定理得：CO²=CM²+OM²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5cm．
解：（1）证明：连接CO，
∵圆心角∠BOC与圆周角∠A都对

BC

，
∴∠BOC=2∠A，又∠ECD=2∠A，
∴∠ECD=∠BOC，
又∵∠BOC+∠OCM=90°，
∴∠ECD+∠OCM=90°，即∠OCE=90°，
∴EC是⊙O的切线；

（2）∵AB⊥CD，CD=8cm，
∴CM=

1

2

CD=4cm，
设圆的半径为rcm，即OC=OB=rcm，
又∵MB=2cm，
∴OM=OB-MB=（r-2）cm，
在Rt△COM中，根据勾股定理得：CO²=CM²+OM²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5cm．