试题

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD=FG．

证明：（1）如图，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∴MA⊥AB．
∴MN是半圆的切线．

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
证明：（1）如图，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∴MA⊥AB．
∴MN是半圆的切线．

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．