试题

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2

6

，AD=4，求AB的长．

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
在Rt△ADC中，AC=2

6

，CD=4，
∴AD=2

2

，
∴

2 6

AB

=

2 2

2 6

，
∴AB=6

2

．
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
在Rt△ADC中，AC=2

6

，CD=4，
∴AD=2

2

，
∴

2 6

AB

=

2 2

2 6

，
∴AB=6

2

．