试题

如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．

解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．

（2）连接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3；
在Rt△OFA中，AO²=OF²+AF²，
∴AO=

32+42

=

25

=5，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC-AF-EF=8-4-3=1，
∴CE=1．
解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．

（2）连接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3；
在Rt△OFA中，AO²=OF²+AF²，
∴AO=

32+42

=

25

=5，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC-AF-EF=8-4-3=1，
∴CE=1．