试题

（2006·青浦区二模）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，连接CA、CB．
（1）求证：∠CAB=∠CBA；
（2）在AB上有一点E，延长EC到点P，连接PB，若EA=EC，PB=PE，求证：PB是⊙O的切线．

证明：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴BC=AC．
∴BC=AC．
∴∠CBA=∠CAB．

（2）连接OB，
∵EC=EA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠PEB=2∠EAC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=2∠BAC．
∴∠PBE=2∠CBA．
∴∠PBC=∠CBF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠CBA+∠BCO=90°，
∴∠PBC+∠OBC=90°．
即OB⊥PB，
∵点B在圆上，
∴PB是圆O的切线．
证明：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴BC=AC．
∴BC=AC．
∴∠CBA=∠CAB．

（2）连接OB，
∵EC=EA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠PEB=2∠EAC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=2∠BAC．
∴∠PBE=2∠CBA．
∴∠PBC=∠CBF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠CBA+∠BCO=90°，
∴∠PBC+∠OBC=90°．
即OB⊥PB，
∵点B在圆上，
∴PB是圆O的切线．