试题

已知：如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且

BC

=

CF

，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．

（1）DE与⊙O的位置关系是：DE是⊙O的切线；
证明：如图所示，连接CO，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2，
∵

BC

=

CF

，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CO∥AE，
∵DE⊥AF，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∠BCD与∠BAC的大小关系为：∠BCD=∠BAC，
证明：∵CO⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即∠OCB+∠2=90°，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
即∠BCD=∠BAC．
（1）DE与⊙O的位置关系是：DE是⊙O的切线；
证明：如图所示，连接CO，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2，
∵

BC

=

CF

，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CO∥AE，
∵DE⊥AF，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∠BCD与∠BAC的大小关系为：∠BCD=∠BAC，
证明：∵CO⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即∠OCB+∠2=90°，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
即∠BCD=∠BAC．