试题

如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取点P，使PA=

1

2

AB，弦CD⊥AB且过OA的中点，连接AC、PC．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AC=2，F为⊙O上一点，CD上的点Q为△CAF的内心，求线段DQ的长．

解：（1）连OC，
∵弦CD⊥AB且过OA的中点，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°．
又∵PA=

1

2

AB，
∴PA=AO=AC．
∴△PAO是直角三角形即∠PCO=90°．
∴直线PC是⊙O的切线．

（2）过Q点作QE⊥AC，Q点为垂足．
∵CD上的点Q为△CAF的内心，而CD是平分∠ACO的．
∴C，O，F共线即CF为直径．
若AC=2，则等边三角形OAC的高CH为

3

，所以CD=2

3

．
∠F=30°，则CF=4，AF=2

3

，所以直角三角形ACF的内切圆半径QE=

2+ 2 3  -4

2

=

2 3 -2

2

．
∴CQ=2QE=2

3

-2．
∴DQ=2

3

-（2

3

-2）=2．
解：（1）连OC，
∵弦CD⊥AB且过OA的中点，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°．
又∵PA=

1

2

AB，
∴PA=AO=AC．
∴△PAO是直角三角形即∠PCO=90°．
∴直线PC是⊙O的切线．

（2）过Q点作QE⊥AC，Q点为垂足．
∵CD上的点Q为△CAF的内心，而CD是平分∠ACO的．
∴C，O，F共线即CF为直径．
若AC=2，则等边三角形OAC的高CH为

3

，所以CD=2

3

．
∠F=30°，则CF=4，AF=2

3

，所以直角三角形ACF的内切圆半径QE=

2+ 2 3  -4

2

=

2 3 -2

2

．
∴CQ=2QE=2

3

-2．
∴DQ=2

3

-（2

3

-2）=2．