试题

（2010·太原二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB=30°，在AB的延长线上取一点P，使得PB=

1

2

AB，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：PC与⊙O相切，
理由如下：
连接OC，BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
又∵BP=

1

2

AB，OB=

1

2

AB，
∴BP=CB=OB，
∴∠P=∠1，∠2=∠3．
∵∠P+∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠OCP=90°．
∴OC⊥PC．
∴PC与⊙0相切．
解：PC与⊙O相切，
理由如下：
连接OC，BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=

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AB，
又∵BP=

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AB，OB=

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AB，
∴BP=CB=OB，
∴∠P=∠1，∠2=∠3．
∵∠P+∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠OCP=90°．
∴OC⊥PC．
∴PC与⊙0相切．