试题

（2013·房山区一模）如图，BC为半⊙O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点，AD⊥BC，垂足为D，联结BE交AD于F，过A作AG∥BE交CB的延长线于G．
（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若直径BC=2，求线段AF的长．

（1）答：直线AG与⊙O相切，理由为：
证明：连接OA，
∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴

BA

=

AE

=

EC

，
∴点A是

BE

的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴直线AG与⊙O相切；

（2）解：∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=AB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

AB2-BD2

=

3

2

，
又∵∠EBC=30°，
在Rt△FBD中，tan∠EBC=

FD

BD

，即tan30°=

3

3

=

FD

1 2

，
解得FD=

3

6

，
则AF=AD-FD=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
（1）答：直线AG与⊙O相切，理由为：
证明：连接OA，
∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴

BA

=

AE

=

EC

，
∴点A是

BE

的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴直线AG与⊙O相切；

（2）解：∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=AB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

AB2-BD2

=

3

2

，
又∵∠EBC=30°，
在Rt△FBD中，tan∠EBC=

FD

BD

，即tan30°=

3

3

=

FD

1 2

，
解得FD=

3

6

，
则AF=AD-FD=

3

2

-

3

6

=

3

3

．