试题

（2013·南京二模）在·ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，点E在边BC上，过点E作直线EF⊥AB，垂足为点F，EF与DC的延长线相交于点H．
（1）如图1，已知点E是BC的中点，求证：以E为圆心、EF为半径的圆与直线CD相切；
（2）如图2，已知点E不是BC的中点，连接BH、CF，求梯形BHCF的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵点E是BC的中点，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∠BFE=∠CHE ∠FEB=∠CEH BE=EC

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半径．
∵直线CD过⊙E半径EH的外端点H，
∴直线CD与⊙E相切．

（2）解：由平行四边形的性质得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×

3

2

=3

3

，
设CH=x，则CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=

1

2

×（CH+BF）×3

3

=

1

2

×（x+3-x）×3

3

=

9

2

3

．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵点E是BC的中点，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∠BFE=∠CHE ∠FEB=∠CEH BE=EC

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半径．
∵直线CD过⊙E半径EH的外端点H，
∴直线CD与⊙E相切．

（2）解：由平行四边形的性质得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×

3

2

=3

3

，
设CH=x，则CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=

1

2

×（CH+BF）×3

3

=

1

2

×（x+3-x）×3

3

=

9

2

3

．