试题

（2013·沙河口区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=3，DE=2，求AD的长．

（1）证明：连接OD，
∵AD为∠EAB的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥ED，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）∵DE为圆的切线，AE为圆的割线，
∴DE²=EC·EA=EC·（EC+AC），
∵AC=3，DE=2，
∴4=EC（EC+3），即EC²+3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0，
解得：EC=1，
则AE=AC+CE=3+1=4，
在Rt△AED中，AE=4，DE=2，
根据勾股定理得：AD=2

5

．
（1）证明：连接OD，
∵AD为∠EAB的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥ED，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）∵DE为圆的切线，AE为圆的割线，
∴DE²=EC·EA=EC·（EC+AC），
∵AC=3，DE=2，
∴4=EC（EC+3），即EC²+3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0，
解得：EC=1，
则AE=AC+CE=3+1=4，
在Rt△AED中，AE=4，DE=2，
根据勾股定理得：AD=2

5

．