试题

题目:
青果学院(2013·雨花台区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:直线DE与⊙O相切;
(2)当AB=9,BC=6时,求线段DE的长.
答案
青果学院(1)证明,连接AD,OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∵AO=BO,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODE=∠ADE=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与⊙O相切;

(2)∵AB=9,BC=6,
∴DB=3,
∴AD=
AB2-BD2
=6
2

∵S△ADC=
1
2
AD·DC=9
2

∴DE=
36
2
AC
=2
2

青果学院(1)证明,连接AD,OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∵AO=BO,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODE=∠ADE=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与⊙O相切;

(2)∵AB=9,BC=6,
∴DB=3,
∴AD=
AB2-BD2
=6
2

∵S△ADC=
1
2
AD·DC=9
2

∴DE=
36
2
AC
=2
2
考点梳理
切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理.
(1)连接AD,OD,证明OD⊥DE即可证明直线DE与⊙O相切;
(2)首先利用勾股定理求出AD的长,利用三角形的面积为定值即可求出DE的长.
本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可,解答(2)时,还可以利用射影定理来求CE的长度.
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