试题

题目：
（1998·内江）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，D为⊙O上一点，E是
BD
的中点，连接AD、CE并青果学院延长相交于点F，且AF⊥CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若EF=6，CE=10，求⊙O的直径的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OE、OD；
∵E是
BD
的中点，
∴∠BOE=∠DOE=
1
2
∠BOD；
∵∠A=
1
2
∠BOD，
∴∠EOB=∠A；
∴OE∥AF；
∵AF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：设半径为R，CB=x，则：
x+R
R
=
10
6
(x+R)2=R2+102
，
∴2R=15；
∴⊙O的直径的长为15．
青果学院（1）证明：连接OE、OD；
∵E是
BD
的中点，
∴∠BOE=∠DOE=
1
2
∠BOD；
∵∠A=
1
2
∠BOD，
∴∠EOB=∠A；
∴OE∥AF；
∵AF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：设半径为R，CB=x，则：
x+R
R
=
10
6
(x+R)2=R2+102
，
∴2R=15；
∴⊙O的直径的长为15．
考点梳理
切线的判定；勾股定理．
（1）要证明CF与⊙O相切；可以证明OE⊥CF．
（2）连接OE，则△COE∽△CAF，根据相似三角形的对应边的比相等以及在直角△CAF中，根据勾股定理可以得到关于半径与BC长的方程组，就可以求出．
证明切线可以证明直线经过半径的外端点，并且垂直于这条半径．
计算题；证明题；压轴题．
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