试题

（1999·海淀区）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D．若E是

DF

的中点，且AE：EF=3：1，FC=4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

解：解法一：连接OE，DF；
∵E是

DF

的中点，BD是⊙O的直径，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
设OB=r，则AO=3r，BF=

4

3

r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE·AF=AD·AB，
∴3EF·4EF=2r·4r，
∴EF=

6

3

r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BC²=CF·CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC²=AC²-AB²=（4EF+4）²-（4r）²，
∴4（4+EF）=（4EF+4）²-（4r）²；（6分）
即4（4+

6

3

r）=（4×

6

3

r+4）²-（4r）²；
∴r=

7 6

4

，（7分）
∴BC=

30

；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF=

FB

DB

=

2

3

，
∴sin∠CBF=

2

3

．（9分）
（说明：只求出DCBF的正弦值给4分）

解法二：
连接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=

4

3

r，EF=DE=

6

3

r，CB是切线；
∵DB是直径，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，由勾股定理，有DB²=DE²+EB²，
∴EB=

30

3

r；（4分）
∵∠CBF=∠CEB，且∠C公用，
∴△CFB∽△CBE，
∴

CF

CB

=

FB

EB

；
由FC=4，得BC=

30

，（7分）
∵CB2=CF·CE，
∴EF=

7

2

，
∴r=

7

4

6

，
∴BF=

7

3

6

，AF=14；
过F点作FG∥AB，交CB于G，
∴

CF

AC

=

FG

AB

，
∴FG=

14 6

9

，
在Rt△FGB中，由正弦定义，有
sin∠FBG=

FG

FB

，
∴sin∠FBG=

2

3

．（9分）
解：解法一：连接OE，DF；
∵E是

DF

的中点，BD是⊙O的直径，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
设OB=r，则AO=3r，BF=

4

3

r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE·AF=AD·AB，
∴3EF·4EF=2r·4r，
∴EF=

6

3

r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BC²=CF·CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC²=AC²-AB²=（4EF+4）²-（4r）²，
∴4（4+EF）=（4EF+4）²-（4r）²；（6分）
即4（4+

6

3

r）=（4×

6

3

r+4）²-（4r）²；
∴r=

7 6

4

，（7分）
∴BC=

30

；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF=

FB

DB

=

2

3

，
∴sin∠CBF=

2

3

．（9分）
（说明：只求出DCBF的正弦值给4分）

解法二：
连接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=

4

3

r，EF=DE=

6

3

r，CB是切线；
∵DB是直径，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，由勾股定理，有DB²=DE²+EB²，
∴EB=

30

3

r；（4分）
∵∠CBF=∠CEB，且∠C公用，
∴△CFB∽△CBE，
∴

CF

CB

=

FB

EB

；
由FC=4，得BC=

30

，（7分）
∵CB2=CF·CE，
∴EF=

7

2

，
∴r=

7

4

6

，
∴BF=

7

3

6

，AF=14；
过F点作FG∥AB，交CB于G，
∴

CF

AC

=

FG

AB

，
∴FG=

14 6

9

，
在Rt△FGB中，由正弦定义，有
sin∠FBG=

FG

FB

，
∴sin∠FBG=

2

3

．（9分）