试题

题目：
青果学院（2006·巴中）如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，O为AB的中点，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：连接AD；
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴△ADC是直角三角形．
∵∠C=30°，CD=10，
∴AD=
10
3
3
．
∵OD∥AC，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴△OAD是等边三角形，
∴OD=AD=
10
3
3
，
∴圆O的半径为
10
3
3
cm．
青果学院（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，O为AB的中点，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：连接AD；
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴△ADC是直角三角形．
∵∠C=30°，CD=10，
∴AD=
10
3
3
．
∵OD∥AC，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴△OAD是等边三角形，
∴OD=AD=
10
3
3
，
∴圆O的半径为
10
3
3
cm．
考点梳理
切线的判定；等边三角形的性质；圆周角定理．
（1）连接OD，利用三角形的中位线定理可得出OD∥AC，再利用平行线的性质就可证明DE是圆O的切线．
（2）利用30°特殊角度，可求出AD的长，由两直线平行同位角相等，可得出∠ODB=∠C=30°，从而△ABD为直角三角形，圆O的半径可求．
本题考查了切线的判定及平行线的性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题；压轴题．
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