试题

（2009·营口）如图，已知△ABC中，∠C=∠ABC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果BC=10，CE=4，求直径AB的长．

解：
（1）方法一：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）
方法二：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）

（2）方法一：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ACD中，cosC=

CD

AC

，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，（9分）
即

4

5

=

5

AC

；
∴AC=

25

4

，
∴AB=

25

4

．（10分）

方法二：连接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=

BD

AB

，
又∵∠C=∠ABC，
∴

CE

CD

=

BD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

；（9分）
∴AB=

25

4

．（10分）

方法三：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即

4

5

=

5

CA

，
∴CA=

25

4

；
∴AB=

25

4

．（10分）

方法四：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴

CE

BD

=

CD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

4

．（10分）
解：
（1）方法一：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD，（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠BDO=∠C；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，（4分）
∴∠EDO=180°-（∠BDO+∠CDE）=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）
方法二：DE与⊙O相切；（1分）
理由：连接OD；（2分）
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠BDO；（3分）
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC，（4分）
∴∠EDO=∠CED；
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．（5分）

（2）方法一：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°；
∴AD⊥BC；（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°；
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ACD中，cosC=

CD

AC

，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，（9分）
即

4

5

=

5

AC

；
∴AC=

25

4

，
∴AB=

25

4

．（10分）

方法二：连接AD．（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（7分）
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=5．（8分）
在Rt△CDE中，cosC=

CE

CD

，
在Rt△ADB中，cos∠ABD=

BD

AB

，
又∵∠C=∠ABC，
∴

CE

CD

=

BD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

；（9分）
∴AB=

25

4

．（10分）

方法三：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CDA；
又∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CDA，（9分）
∴

CE

CD

=

CD

CA

，即

4

5

=

5

CA

，
∴CA=

25

4

；
∴AB=

25

4

．（10分）

方法四：连接AD；（6分）
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，（7分）
∴BD=CD=

1

2

BC=5；（8分）
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ADB；
又∵∠C=∠ABC，
∴△CED∽△BDA，（9分）
∴

CE

BD

=

CD

AB

，
即

4

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

4

．（10分）